第一章：前言
1.1 概述
- 计算机的底层只有
二进制，即计算机中运算和存储的所有数据都需要转换为二进制，包括：数字、字符、图片、视频等。
1.2 冯·诺依曼体系结构
- 之前，我们也提到现代的计算机（量子计算机除外）几乎都遵循
冯·诺依曼体系结构，其理论要点如下：- ① 存储程序：
程序指令和数据都存储在计算机的内存中，这使得程序可以在运行时修改。 - ② 二进制逻辑：所有数据和指令都以
二进制形式表示。 - ③ 顺序执行：指令按照它们在内存中的顺序执行，但可以有条件地改变执行顺序。
- ④ 五大部件：计算机由
运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备组成。 - ⑤ 指令结构：指令由操作码和地址码组成，操作码指示要执行的操作，地址码指示操作数的位置。
- ⑥ 中心化控制：计算机的控制单元（CPU）负责解释和执行指令，控制数据流。
- ① 存储程序：
提醒
冯·诺依曼体系结构决定了计算机为什么只能识别二进制！！！
第二章：进制
2.1 常见的进制
- 在生活中，我们最为常用的进制就是
十进制，其规则是满 10 进 1，即：
- 在计算机中，常见的进制有
二进制、八进制和十六进制，即：- 二进制：只能 0 和 1 ，满 2 进 1 。
- 八进制：0 ~ 7 ，满 8 进 1 。
- 十六进制：0 ~ 9 以及 A ~ F ，满 16 进 1 。
提醒
- ① 在十六进制中，除了
0到9这十个数字之外，还引入了字母，以便表示超过9的值。 - ② 其中，字母
A对应十进制的10，字母B对应十进制的11，字母C对应十进制的12，字母D对应十进制的13，字母E对应十进制的14，字母F对应十进制的15。
- 进制的换算举例，如下所示：
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | a 或 A |
| 11 | 1011 | 13 | b 或 B |
| 12 | 1100 | 14 | c 或 C |
| 13 | 1101 | 15 | d 或 D |
| 14 | 1110 | 16 | e 或 E |
| 15 | 1111 | 17 | f 或 F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| ... | ... | ... | ... |
- 二进制和十六进制的关系：十六进制是以 16 为基数的进制系统，16 在二进制中表示为 ( 2^4 )，即：一个十六进制可以表示 4 位二进制。
提醒
十六进制的范围是：0 ~ F （0 ~ 15）对应的二进制数的范围是：0000 ~ 1111 （0 ~ 15）。
- 每个十六进制数都可以映射到一个唯一的 4 位二进制数，即：
| 十六进制 | 二进制 |
|---|---|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| A | 1010 |
| B | 1011 |
| C | 1100 |
| D | 1101 |
| E | 1110 |
| F | 1111 |
提醒
由此可见，每个十六进制数字确实由 4 位二进制数表示。
- 二进制和八进制的关系：八进制是以 8 为基数的进制系统，8 在二进制中表示为 ( 2^3 )；即：一个八进制位可以表示 3 个二进制位。
提醒
八进制的范围是：0 ~ 7 对应的二进制数的范围是：000 ~ 111。
- 每个八进制数位都可以映射到一个唯一的 3 位二进制数，即：
| 八进制 | 二进制 |
|---|---|
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
提醒
由此可见，每个八进制数字确实由 3 位二进制数表示。
2.2 C 语言中如何表示不同进制的整数？
规则如下：
- 在 C 语言中，如果是
二进制（字面常量），则需要在二进制整数前加上0b或0B。 - 在 C 语言中，如果是
八进制（字面常量），则需要在八进制整数前加上0。 - 在 C 语言中，如果是
十进制（字面常量），正常数字表示即可。 - 在 C 语言中，如果是
十六进制（字面常量），则需要在十六进制整数前加上0x或0X。
- 在 C 语言中，如果是
示例：
c
#include <stdio.h>
int main() {
// 禁用 stdout 缓冲区
setbuf(stdout, nullptr);
int num1 = 0b10100110; // 二进制
int num2 = 0717563; // 八进制
int num3 = 1000; // 十进制
int num4 = 0xaf72; // 十六进制
printf("num1 = %d\n", num1); // num1 = 166
printf("num2 = %d\n", num2); // num2 = 237427
printf("num3 = %d\n", num3); // num3 = 1000
printf("num4 = %d\n", num4); // num4 = 44914
return 0;
}2.3 输出格式
- 在 C 语言中，可以使用不同的
格式占位符来输出不同进制的整数，如下所示：%b：二进制整数^c23。%d：十进制整数。%o：八进制整数。%x：十六进制整数。%#o：显示前缀0的八进制整数。%#x：显示前缀0x的十六进制整数。%#X：显示前缀0X的十六进制整数。
注意
- ① 在 C23 标准之前，C 语言中的
scanf函数和printf函数，都不支持二进制整数，也没有对应的格式占位符。 - ② 在 C23 标准之后，C 语言中的
scanf函数和printf函数，都支持二进制整数，其对应的格式占位符是%b。
- 示例：
c
#include <stdio.h>
int main() {
// 禁用 stdout 缓冲区
setbuf(stdout, nullptr);
int num = 100;
// 100 的二进制整数： 1100100
printf("%d 的二进制整数： %b\n", num, num);
// 100 的十进制整数： 100
printf("%d 的十进制整数： %d\n", num, num);
// 100 的八进制整数： 144
printf("%d 的八进制整数： %o\n", num, num);
// 100 的十六进制整数： 64
printf("%d 的十六进制整数： %x\n", num, num);
// 100 的八进制（前缀）整数： 0144
printf("%d 的八进制（前缀）整数： %#o\n", num, num);
// 100 的十六进制（前缀）整数： 0x64
printf("%d 的十六进制（前缀）整数： %#x\n", num, num);
// 100 的十六进制（前缀）整数： 0X64
printf("%d 的十六进制（前缀）整数： %#X\n", num, num);
return 0;
}第三章：进制的运算规则
3.1 概述
十进制的运算规则：- 逢
十进一（针对加法而言）。 - 借
一当十（针对减法而言）。
- 逢
二进制的运算规则：- 逢
二进一（针对加法而言）。 - 借
一当二（针对减法而言）。
- 逢
八进制的运算规则：- 逢
八进一（针对加法而言）。 - 借
一当八（针对减法而言）。
- 逢
十六进制的运算规则：- 逢
十六进一（针对加法而言）。 - 借
一当十六（针对减法而言）。
- 逢
3.2 二进制的运算
- 二进制的加法：
1 + 0 = 1、1 + 1 = 10、11 + 10 = 101、111 + 111 = 1110。
- 二进制的减法：
1 - 0 = 1、10 - 1 = 1、101 - 11 = 10、1100 - 111 = 101。
3.3 八进制的运算
- 八进制的加法：
3 + 4 = 7、5 + 6 = 13、75 + 42 = 137、2427 + 567 = 3216。
- 八进制的减法：
6 - 4 = 2、52 - 27 = 33、307 - 141 = 146、7430 - 1451 = 5757。
3.4 十六进制的运算
- 十六进制的加法：
6 + 7 = D、18 + BA = D2、595 + 792 = D27、2F87 + F8A = 3F11。
- 十六进制的减法：
D - 3 = A、52 - 2F = 23、E07 - 141 = CC6、7CA0 - 1CB1 = 5FEF。
第四章：进制的转换
4.1 概述
- 不同进制的转换，如下所示：
- 在计算机中，数据是从右往左的方式排列的；其中，最右边的是低位，最左边的是高位，即：
4.2 二进制和十进制的转换
4.2.1 二进制转换为十进制
- 规则：从最低位开始，将每个位上的数提取出来，乘以 2 的 （位数 - 1 ）次方，然后求和。
提醒
- ① 在学术界，将这种计算规则，称为
位权相加法。 - ②
八进制转换为十进制、十六进制转换为十进制和二进制转换为十进制的算法相同！！！
- 示例：十进制转十进制
- 示例：二进制转十进制
4.2.2 十进制转换二进制
- 规则：将该数不断除以 2 ，直到商为 0 为止，然后将每步得到的余数倒过来，就是对应的二进制。
提醒
- ① 在学术界，将这种计算规则，称为
短除法或连续除2取余法。 - ② 很好理解，只有不断地除以 2 ，就能保证最大的数字不超过 2 ，这不就是二进制（只能有 0 或 1）吗？
- ③
八进制转换为二进制、十六进制转换为二进制和十进制转换为二进制的算法相同！！！
- 示例：十进制转十进制
- 示例：十进制转二进制
4.2.3 二进制转八进制
规则：从右向左，每 3 位二进制就是一个八进制，不足补 0（分组转换法）。
示例：011 101 001 -> 351
4.2.4 二进制转十六进制
规则：从右向左，每 4 位二进制就是一个十六进制，不足补 0（分组转换法）。
示例：1110 1001 -> 0xE9
第五章：原码、反码和补码
5.1 概述
- 在计算机中，
无符号位的整数，如：unsinged int 等，在计算机底层存储的是二进制编码。
提醒
所谓无符号位的整数，就是对应数学中的自然数（0 和正整数），即：[0,+∞]。
- 在计算机中，
有符号位的整数，如：int 等，在计算机底层存储的是补码。
提醒
所谓有符号位的整数，就是对应数学中的整数（正整数、0 和负整数），即：[-∞,+∞]。
5.2 机器数和真值
- 机器数：一个数在计算机的存储形式是二进制，我们称这些二进制数为机器数。机器数可以是有符号的，用机器数的最高位来存放符号位，
0表示正数，1表示负数。
重要
- ① 这里讨论的适用于
有符号位的整数，如：int 等。 - ② 这里讨论的不适用于
无符号位的整数，即：unsinged int 等。
- 真值（数据位）：因为机器数带有符号位，所以机器数的形式值不等于其真实表示的值（真值），以机器数 1000 0001 为例，其真正表示的值（首位是符号位）为 -1，而形式值却是 129 ，因此将带有符号位的机器数的真正表示的值称为机器数的真值。
重要
- ① 这里讨论的适用于
有符号位的整数，如：int 等。 - ② 这里讨论的不适用于
无符号位的整数，即：unsinged int 等。
5.3 原码
- 原码的表示与机器数真值表示的一样，即用第一位表示符号，其余位表示数值。
- 原码的规则：
提醒
- 正数的
原码是它本身对应的二进制数，符号位是 0 。 - 负数的
原码是它本身绝对值对应的二进制数，但是符号位是 1 。
+1的原码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） |
|---|---|
| +1 | 0000 0000 0000 0001 |
-1的原码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） |
|---|---|
| -1 | 1000 0000 0000 0001 |
重要
- ① 按照原码的规则，会出现
+0和-0的情况，即：0000 0000 0000 0001（+0）、1000 0000 0000 0001（-0），显然不符合实际情况。 - ② 所以，计算机底层虽然存储和计算的都是二进数，但显然不是原码。
5.4 反码
- 反码的规则：
提醒
- 正数的
反码和它的原码相同。 - 负数的
反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。
+1的反码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） | 反码（16位二进制数） |
|---|---|---|
| +1 | 0000 0000 0000 0001 | 0000 0000 0000 0001 |
-1的反码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） | 反码（16位二进制数） |
|---|---|---|
| -1 | 1000 0000 0000 0001 | 1111 1111 1111 1110 |
重要
- ① 按照反码的规则，如果是
+0，对应的原码是0000 0000 0000 0000；那么，其反码还是0000 0000 0000 0000；如果是-0，对应的原码是1000 0000 0000 0000，其反码是1111 1111 1111 1111，显然不符合实际情况。 - ② 所以，计算机底层虽然存储和计算的都是二进数，但显然不是反码。
5.5 补码
- 补码的规则：
提醒
- 正数的
补码和它的原码相同。 - 负数的
补码是在其反码的基础上 + 1 。
+1的补码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） | 反码（16位二进制数） | 补码（16位二进制数） |
|---|---|---|---|
| +1 | 0000 0000 0000 0001 | 0000 0000 0000 0001 | 0000 0000 0000 0001 |
-1的补码，使用16位二进数来表示，就是：
| 十进制数 | 原码（16位二进制数） | 反码（16位二进制数） | 补码（16位二进制数） |
|---|---|---|---|
| -1 | 1000 0000 0000 0001 | 1111 1111 1111 1110 | 1111 1111 1111 1111 |
- 如果
0，按照+0的情况进行处理，如下所示：
- 如果
0，按照-0的情况进行处理，如下所示：
+1和-1的原码和补码的转换过程，如下所示：
重要
- ① 补码表示法解决了
原码和反码存在的两种零（+0和-0）的问题，即：在补码表示法中，只有一个零，即0000 0000。 - ②补码使得
加法运算和减法运算可以统一处理，通过将减法运算转换为加法运算，可以简化硬件设计，提高了运算效率。 - ③ 计算机底层
存储和计算的都是二进数的补码。换言之，当读取整数的时候，需要采用逆向的转换，即：将补码转换为原码。正数的原码、反码、补码都是一样的，三码合一。负数的补码转换为原码的方法就是先减去1，得到反码，再按位取反，得到原码（符号位是不能借位的）。
5.6 总结
- ① 计算机底层
存储和计算的都是二进数的补码。换言之，当读取整数的时候，需要采用逆向的转换，即：将补码转换为原码。 - ② 正数的原码、反码和补码都是一样的，三码合一。
- ③ 负数的反码是在其原码的基础上，按位取反（0 变 1 ，1 变 0 ），符号位不变；负数的补码是其反码 + 1 。
- ④ 0 的补码是 0 。
- ⑤ 负数的补码转换为原码的方法就是先减去
1，得到反码，再按位取反，得到原码（符号位是不能借位的）。
第六章：计算机底层为什么使用补码？
6.1 概述
加法和减法是计算机中最基本的运算，计算机时时刻刻都离不开它们，所以它们由硬件直接支持。为了提高加法和减法的运行效率，硬件电路必须设计得尽量简单。对于有符号位的数字来说，内存需要区分符号位和数值位：对于人类来说，很容易识别（最高位是 0 还是 1）；但是，对于计算机来说，需要设计专门的电路，这无疑增加了硬件的复杂性，增加了计算时间。如果能将符号位和数值位等同起来，让它们一起参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就可以变得非常简单。
此外，加法和减法也可以合并为一种运算，即：加法运算。换言之，减去一个数就相当于加上这个数的相反数，如：
5 - 3相当于5 +（-3），10 -（-9）相当于10 + 9。如果能够实现上述的两个目标，那么只需要设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法运算和减法运算，而且非常高效。其实，这两个目标已经实现了，真正的计算机的硬件电路就是这样设计的。
但是，简化硬件电路是有代价的，这个代价就是
有符号数在存储和读取的时候都要继续转换。这也是对于有符号数的运算来说，计算机底层为什么使用补码的原因所在。
6.2 补码到底是如何简化硬件电路的？
- 假设 6 和 18 都是 short 类型，现在我们要计算
6 - 18的结果，根据运算规则，它等价于6 +（-18）。如果按照采用原码来计算，那么运算过程是这样的，如下所示：
提醒
直接使用原码表示整数，让符号位也参与运算，那么对于减法来说，结果显然是不正确的。
- 于是，人们开始继续探索，不断试错，终于设计出了
反码，如下所示：
提醒
直接使用反码表示整数，让符号位也参与运算，对于 6 +（-18）来说，结果貌似正确。
- 如果我们将
被减数和减数对调一下，即：计算18 - 6的结果，也就是18 +（-6）的结果，继续采用反码来进行运算，如下所示：
提醒
- ① 6 - 18，即：6+（-18），如果采用
反码计算，结果是正确的；但是，18 - 6，即：18 +（-6），如果采用反码计算，结果相差 1 。 - ② 可以推断：如果按照
反码来计算，小数 - 大数，结果正确；而大数 - 小数，结果相差 1 。
- 对于这个相差的
1必须进行纠正，但是又不能影响小数-大数的结果。于是，人们又绞尽脑汁设计出了补码，给反码打了一个“补丁”，终于把相差的1给纠正过来了。那么，6 - 18按照补码的运算过程，如下所示：
- 那么，
18 - 6按照补码的运算过程，如下所示：
重要
总结：采用补码的形式正好将相差的 1纠正过来，也没有影响到小数减大数，这个“补丁”非常巧妙。
- ① 小数减去大数，结果为负，之前（负数从反码转换为补码需要 +1）加上的 1 ，后来（负数从补码转换为反码要 -1）还需要减去，正好抵消掉，所以不会受到影响。
- ② 大数减去小数，结果为正，之前（负数从反码转换为补码需要 +1）加上的 1 ，后来（正数的补码和反码相同，从补码转换为反码不用 -1）就没有再减去，不能抵消掉，这就相当于给计算结果多加了一个 1。
补码这种天才般的设计，一举达成了之前加法运算和减法运算提到的两个目标，简化了硬件电路。
6.3 问题抛出
- 在 C 语言中，对于
有符号位的整数，是使用0作为正数，1作为负数，来表示符号位，并使用数据位来表示的是数据的真值，如下所示：
c
int a = 10;
int b = -10;
- 但是，对于
无符号位的整数而言，是没有符号位和数据位，即：没有原码、反码、补码的概念。无符号位的整数的数值都是直接使用二进制来表示的（也可以理解为，对于无符号位的整数，计算机底层存储的就是其原码），如下所示：
c
unsigned int a = 10;
// 其实是不对的，因为无符号位只能是自然数；但是，C 语言就是这么坑爹！！！
unsigned int b = -10;
- 这就是导致了一个结果就是：如果我定义一个
有符号的负数，却让其输出无符号，必然造成结果不对，如下所示：
c
#include <stdio.h>
char *getBinary(int num) {
static char binaryString[33];
int i, j;
for (i = sizeof(num) * 8 - 1, j = 0; i >= 0; i--, j++) {
const int bit = (num >> i) & 1;
binaryString[j] = bit + '0';
}
binaryString[j] = '\0';
return binaryString;
}
int main() {
// 禁用 stdout 缓冲区
setbuf(stdout, NULL);
int num = -10;
printf("b=%s\n", getBinary(num)); // b=11111111111111111111111111110110
printf("b=%d\n", num); // b=-10
printf("b=%u\n", num); // b=4294967286
return 0;
}- 其实，C 语言的底层逻辑很简单，C 语言压根不关心你定义的是
有符号数还是无符号数，它只关心内存（如果定义的是有符号数，那就按照有符号数的规则来存储；如果定义的是无符号数，那就按照无符号数的规则来存储）。换言之，有符号数可以按照无符号数的规则来输出，无符号数也可以按照有符号数的规则来输出，至于输出结果对不对，那是程序员的事情，和 C 语言没有任何关系。
重要
- ① 实际开发中，
printf函数中的常量、变量或表达式，需要和格式占位符一一对应；否则，将会出现数据错误的现象。 - ② 正因为上述的原因，很多现代化的编程语言，如：Java 等，直接取消了无符号的概念。但是，很多数据库是使用 C 语言开发的，如：MySQL 等，就提供了创建数据表的字段为无符号类型的功能，即：
UNSIGNED（正整数） ，不要感觉困惑！！！ - ③ 对于
1000 0000 …… 0000 0000这个特殊的补码，无法按照上述的方法转换为原码，所以计算机直接规定这个补码对应的值就是-2³¹，至于为什么，下节我们会详细分析。
第七章：位权相加法
7.1 概述
- 在上文，在提起
二进制转换为十进制的时候，我们就提到了位权相加法，例如：1011 --> 11。
7.2 无符号位整数的位权相加法
在计算机中，
无符号位的整数，如：unsinged int 等，在计算机底层存储的是二进制编码。对于一个
无符号整数，在计算机底层存储的二进制是；那么，其对应的 十进制是。 示例：1010 1010 -> 170
txt
1010 1010 = 1×2⁷ + 1×2⁵ + 1×2³ + 1×2¹ = 1707.3 有符号位整数的位权相加法
在计算机中，
有符号位的整数，如：int 等，在计算机底层存储的是补码。对于一个
有符号整数，在计算机底层存储的二进制是；那么，其对应的 十进制是。 示例：0010 1010 --> 42
txt
0010 1010 = 1×2⁵ + 1×2³ + 1×2¹ = 42- 示例：1010 1010 --> -86
txt
1010 1010 = -1×2⁷ + 1×2⁵ + 1×2³ + 1×2¹ = -867.4 有符号位整数的三个特性
- ① 对于一个
8位的有符号位整数，其最大的负数-1，在计算机底层的补码是1111 1111。
txt
1111 1111
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ + 1×2⁰ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2¹ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2² - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2³ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2⁴ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁵ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁶ - 1×2⁰
= -1×2⁷ + 1×2⁷ - 1×2⁰
= -1- ② x + (-x) = 10000 ... 0000 。其中，x 是自然数，如：1、2 等；10000 ... 0000 中有 n 个 0 ，1 会溢出，会被丢弃。
txt
问：如果一个有符号数，在计算机中的存储是 1101 0100（补码） ，求其相反数的二进制表示？
答：从右往左数，第一个为 1 的数，保留下来（100），其余按位取反，即：0010 1100- ③ x + (~x) = 1111 ... 1111 = -1 。其中，1111 ... 1111 有 n 个 1 ，就是 -1 。